Eksponen Lokal Masuk Dua Cycle Dwiwarna dengan Panjang Selisih 2

Abstract

A two colored digraph D(2) is a digraph each of whose arcs is colored by either red or blue. An (h, k)-walk in a two-colored digraph is a walk of lengh h+k consisting of h red arcs and k blue arcs. A two-colored digraph D(2) consisting of n vertex {v1, v2, . . . , vn} is primitive provided that there are nonnegative integers h and k such that for each pair of vertices vi and vj there exists an (h, k)-walk from vi to vj and from vj to vi. The exponent of a vertex v in D(2), denoted exp(D(2)), is the smallest positive integer h + k over all nonnegative integers h and k such that for each vertex u in D(2) there is an (h, k)-walk from u to v. The inner local exponent of a vertex v` in D(2), denoted expin(D(2), v`), is the smallest positive integer s 0+t 0 over all nonnegative integers s 0 and t 0 such that for each vertex vi, i = 1, 2, . . . , n in D(2) there is an (s 0 , t0 )-walk from vi to v`. From the main result we can conclude that expin(D(2), vt) = expin(D(2), v1) + d(v1, vt) for all t = 1, 2, · · · , n.

Sebuah digraph dwiwarna D(2) adalah sebuah digraph dimana setiap arc atau busur berarahnya di warnai dengan menggunakan satu dari dua warna dalam hal ini warna yang digunakan adalah merah atau biru. Sebuah (h, k)-jalan adalah sebuah jalan yang menggunakan h buah busur berwarna merah dan k buah busur berwarna biru. Sebuah digraph dwiwarna D(2) dengan n verteks {v1, v2, . . . , vn} dikatakan primitif bila terdapat bilangan-bilangan bulat tak negatif h dan k se hingga untuk setiap pasangan verteks vi dan vj di D(2) terdapat (h, k)-jalan dari vi ke vj dan dari vj ke vi . Eksponen dari sebuah digraph dwiwarna, dinotasikan exp(D(2)), adalah bilangan bulat positif h + k terkecil atas semua bilangan bulat tak negatif h dan k yang demikian. Eksponen lokal masuk dari sebuah verteks v` di D(2), dinotasikan expin(D(2), v`), adalah bilangan bulat positif s 0 + t 0 yang terkecil atas semua bilangan bulat tak negatif s 0 dan t 0 sehingga untuk setiap verteks vi , i = 1, 2, . . . , n di D(2) terdapat (s 0 , t0 )-jalan dari vi ke v`. Dari hasil utama dapat disimpulkan bahwa expin(D(2), vt) = expin(D(2), v1)+d(v1, vt) untuk semua t = 1, 2, · · · , n.